分离公理整理笔记

稍微整理了一下最近看到的部分，以后可能还会时不时更新

分离公理及记号

我们不妨假设在以下空间中，单点集合都是闭集。

T1：

任意拓扑空间中两个不同点，总存在两个点各自的邻域，使得一个点的邻域不包含另一个点。

T2(Hausdorff空间)：

对于$X$中任意两个互不相同的点$x$和$y$，存在两个无交的开集分别包含x和$y$。

1
2

import time
import math

第四十一问 全数字的素数

这个问题有一个显然上限 987654321, 但是对于我们的小计算机来说，它太大了。但是，我们先验证是否是全序列花费的时间远比验证是否是质数的时间短，这样我们可以用尽可能少的算力排除大量的不可能事件

因为只需要验证是否是质数，那么我们其实只要验证是否能被$1 - \sqrt{987654321}$的质数整除即可

1
2
3

import math
import time
import numpy as np

第二十五题

这是一个数列递推问题，如果使用递归会使用O($n^2$)的空间与O($n*2^n$)的时间，我们直接使用递推公式一步一步推

热力学第二定律 笔记

本笔记图片源自《Principles of Physics》，其余部分禁止转载

热力学第二定律(熵增定理)

If a process occurs in a closed system, the entropy of the system increases for irreversible processes and remains constant for reversible processes; it never decreases.

在一个封闭系统中，不可能把热量从低温物体传递到高温物体而不产生其他影响

————Rudolf Clausius (1822-1888)

The energy of the universe id constant.

The entropy of the universe tends to a maximum.

有意思的是，此前所有物理定律都没有指出该过程不可逆。该定理打破了物理理论在时间上的对称性。可以说，该定理引出了时间的单向性

数分知识梳理

极限

数列的极限

$\varepsilon - N$定义

$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in N_+,s.t.$当$n>N$时,有

$$
\left | a_n - a \right | < \varepsilon
$$

我们称$a$为数列${ a_n }$的极限，记为
$$\lim_{n \to \infty} a_n = a $$

拓扑学笔记(1) 拓扑空间

拓扑空间

定义 拓扑

集合$X$上的一个拓扑(topology)是$X$的子集的一个族$\mathcal{T}$，它满足以下条件:

1. $\emptyset \in \mathcal{T},X \in \mathcal{T} $
2. $\mathcal{T}$的任意子族的元素的并在$\mathcal{T}$中.
3. $\mathcal{T}$的任意有限子族的元素的交在$\mathcal{T}$中.

一个指定了拓扑$\mathcal{T}$的集合$X$叫做一个拓扑空间(topological space).在不会混淆的场合下，可以不去提$\mathcal{T}$.

积分学笔记1——初识积分学

积分的概念

定义6.1.1 Riemann可积

设函数在区间$[a,b]$上有定义.如果实数$I$使得对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，只要$[a,b]$的分割$\pi$满足$\left | \pi \right | < \delta$，而不管$\xi_i \in [x_{i-1},x_i] (1 \le i \le n)$如何选择，都有

$$
\left | I - \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \right | < \varepsilon
$$

成立，则称$f$在$[a,b]$上Riemann可积，称$I$是$[a,b]$上的Riemann积分.记为

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x
$$

对于常见的连续函数，或许可以直接将积分理解为对 函数与坐标轴围成面积 无线近似的过程。

Problem 7 10001st prime

By listing the first six prime numbers:2,3,5,7,11, and 13, we can see that the 6th prime is 13.

What is the 10001st prime number?

星空与心灵，广袤而难以触碰，不可知，但仍值得探求。

梦的意义

预知未来

有一种解释，认为梦是来自未来的启示，认为梦有预知的作用。

另一种现实

有人认为梦境中的事是真实发生的，与现实的事件具有等同的地位。

醒梦即虚幻

有人认为梦中人类灵魂出窍，周游世界。

梦是身心的反映

有人认为，梦是身体问题的反映。

巴普洛夫经典型条件反射学说

一个刺激和另一个带有奖赏或惩罚的无条件刺激多次联结，可使个体学会在单独呈现该一刺激时，也能引发类似无条件反应的条件反应，又称古典制约。它具有获得、消退、恢复、泛化四个特征。
建立在该观点下，巴普洛夫认为梦境是人对你外刺激的反馈。人渴了会梦到水，人饿了会梦到食物，有时会在梦中听到外界的声音。该观点被认为是梦的唯一科学解释。（并非唯一解释）

解释梦境

20 世纪中旬至今，巴普洛夫的理论从未被推翻。但是，人们对梦境的探索从未停止。
纵使语言也因语境而不同，梦虚无缥缈，充满个体差异，解梦常有误解读的可能。

实验的结论

人们发现，梦往往伴随着脑电图的快波、快速动眼等现象出现。改阶段的睡眠被称为快速动眼睡眠。

慢波睡眠又可划分为4个阶段或称4期。因此更具体地说，睡眠的程序是：觉醒→慢波1期→2期→3期→4期→快波睡眠，然后再次重复慢波睡眠2期→3期→4期→快波睡眠，如此循环。一般从一次快波睡眠到下一次快波睡眠的间隔为70-120分钟，平均90分钟。一夜大致要循环4-6次。越到后半夜，快波睡眠越长、慢波睡眠越短。

现代的研究发现，慢波睡眠阶段也存在梦境，但相比于快波而言不那么富于变化与象征性。

总的来说，睡眠不是觉醒状态的终结，不是神经活动的停止或休息，而是中枢神经系统中另一种形式的活动，是一个主动的过程。

弗洛伊德的解释—-梦是欲望的伪装

弗洛伊德的理论并非全对，但对于心理学对梦境的研究的发展有着不可否认的作用。于今日而言，仍为经典。

现实的事物确实会出现在梦中，但他们不是内容，而是素材。梦的素材来自三方面：身体状态、日间印象、儿时记忆。他认为所有梦都是内心愿望的实现，或者是内心真实愿望的伪装。
由此，弗洛伊德提出人有三我。

• “本我”的存在，即代表人的本能与欲望的部分。本我的欲望并非全是坏的，但它就像一个小孩，及时行乐，不明道德法律为何物，若放任不管将极易陷入混乱。
• “自我”的存在，即用于理性思维的部分。自我知道本我的欲望是否合理、将如何实现，也知道实现后的后果。
• “超我”的存在，即代表良心与理想的部分。超我约束着本我，不让他将不合理的欲望付诸实践。

在弗洛伊德的理论中，梦是为了本我发泄而形成的，也就是本源的愿望，但这些愿望并非全都光明正大，所以，为了绕开超我的管控，本我将这些梦境做了伪装。而这个过程中，本我常用的方法被弗洛伊德总结为以下几类：凝缩、移置、视觉化、象征、再度矫正。笔者不太喜欢弗洛伊德的例子，感兴趣者可以自己去查

凝缩：是把有联系的几个事物转化为一个单一的形象或单一的内容。
移置：指梦把重要的内容放在梦里不引人注意的情节上。
视觉化：指把心理内容转变为视觉形象。
象征：指用一个事物代表另一个事物。
再度校正：指如果超我不小心让一些不允许出现的内容出现在梦里，本我就会通过一些话去努力减少这些内容的影响。
弗洛伊德的理论受时代的影响相对偏激，但也有着相当的借鉴意义。

荣格的解释—-梦是心灵的平衡与警告

“梦是无意识心灵自发的和没有扭曲的产物……梦给我们展示的是未加修饰的自然的真理。”
格荣对梦的解释与弗洛伊德不同，在格荣眼中梦更像是一位诗人，用象征表现着最朴实的心灵。在这一层面上，象征不是伪装，而是表达的手段。梦的基本目的不是实现欲望，而是恢复心理平衡。
荣格认为，梦中的形象除了来源于日常生活之外，还可能来自于人类世世代代的经历与情感在群体潜意识海洋中的沉淀。他把这些历史遗留的形象称之为原型。比如，太阳总是代表伟大、善良、光彩照人；月亮总是代表温柔、美好。荣格列举了其中一部分：上帝原型、恶魔原型、智慧老人原型、大地母亲原型、英雄原型、阿尼姆斯原型、阿尼玛原型、阴影原型、人格面具原型、自性原型。除此之外还有诸多原型，甚至不同的原型之间可以共同存在于一个形象。这些原型构成了心灵的信息。
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弗洛姆的解释—-梦是象征的语言

梦的象征是心灵的语言。许多心情的微妙的部分，时常找不到适当的语言来表达。而运用象征则可以把这些细微的感受表达出来。但与交流不同，交流时的象征仍离不开语言，而梦中的象征更多是作为潜意识到意识的桥梁。

弗洛姆将这些象征分为三类：

习惯的象征：通常没有什么道理，比如“猫”“狗”等日常称谓。
偶然的象征：与代表的事物有一定内在联系，比如对某人很重要的事件及当时的环境。
普遍的象征：与其代表的事物联系密切，比如火与勇敢、力量、活力与危险。
弗洛姆认为，任何心理活动的表现都会出现在梦里。他不同意弗洛伊德把梦说成仅仅是“愿望达成”。

下面是弗洛姆释的一个梦：

“有个男人在经过一座果园时，从一棵树上摘下一个苹果。一条大狗出现并扑过来。”这个人>恐惧万分，于是惊醒了，嘴里大喊救命。
弗洛姆解释，梦者对一个已婚妇女产生了欲望。他想和她发生关系，却有所恐惧。

此处，苹果象征禁果，大狗象征危险与后果。

总结

绝大多数梦的意义不在于预见未来，而在于揭示你自己内心中那些连自己都不知道的东西，那些潜藏的欲望、直觉的洞察和判断。

梦是十分复杂的、多层面的，不要轻易以为自己已完全了解了一个梦。

释梦最危险的就是干扰了心理的自然进程。释梦是用于认识自我的，在释梦的过程中也在与自己的潜意识交流，若使用释梦的技术完成危害他人的行为，将更容易撼动自己的心灵，造成心理疾病的可能。

创作并非天才独有的特权，无需创作者具有独特的潜质。

从广义而言，日常的输出都可以被视为创作，一次创新、一次尝试、甚至平时作的叙述，无论载体，只要本身拥有着你的思想的烙印、你的情绪，或许都可以被称为创作。

对大多数创作者而言，创作是一种享受，而非人们通常认为的负担。因为创作的关键不在于技术，而是创作者本人想要表达的情感、理念。一次创作就是像是一次情绪的发泄，将自己的情感传递出去，将自己的信念传递出去，有感而发，为情而作，在这个过程中完成对自我的认识与表达。

或许，在技术力低的时候，可以尝试从日常生活的题材入手，若是害怕搞砸了，可以考虑先将作品给父母或者比较亲密的好友观看，比较容易获得正面的反馈，从而让自己有个坚持下去的动力。写一段字，引入照片，加入视频，一步一步扩充自己的表达手段，但也要时刻记住，技术终究只是技术，不是内容。