微分几何2：复习线性空间

向量空间的定向 Orientation

Def:
$e = \left { e_i \right } _{i = 1} ^n$, $f = \left { f_i \right } _{i = 1} ^n$ is order base.
We say $e$ and $f$ have the same orientation if the matrix of change of basis has position determinant. Denoted as $e \sim f$.

$e \sim f$ 事实上是一个等价关系，因为它满足等价关系的三个条件。

Remark:
等价关系的三个条件：

1. $e \sim e$
2. $e \sim f \Rightarrow f \sim e$
3. $e \sim f, f \sim g \Rightarrow e \sim g$

由此，它把向量空间分成了两个等价类。

外积

Def: Vector product (Cross product) in $\mathbb R ^3$
For $v,u \in \mathbb R ^3$, the vector product of u and v is the unique vector $u\wedge v \in \mathbb R^3$

用行列式表达的话，
$$
u\wedge v = \begin{vmatrix}
u_1 & u_2 &u_3 \
v_1 & v_2 &v_3 \
\hat{e_1} & \hat{e_2} &\hat{e_3}
\end{vmatrix}
$$
由此，由行列式的性质，我们可以得到以下运算规律

1. $u\wedge v = -v\wedge u$
2. $u\wedge v = 0 \Leftrightarrow u,v\text{线性相关}$
3. $(u\wedge v)\cdot u = 0,(u\wedge v)\cdot v = 0$
4. $(u \wedge v) \wedge w = (u \cdot w)v - (v \cdot w)u$

几何意义

$(u\wedge v)$事实上是$u$和$v$生成平面的一个法向量。

Lagrange’s identity

$$
(u\wedge v) \cdot (x \wedge y) = \begin{vmatrix}
u\cdot x & v\cdot x\
u\cdot y & v\cdot y
\end{vmatrix}
$$

proof

因为外积与内积都是线性运算，因此我们只需要对一组积进行验证即可
$$
(e_i\wedge e_j) \cdot (e_k \wedge e_l) = \begin{vmatrix}
e_i\cdot e_k & e_j\cdot e_k\
e_i\cdot e_l & e_j\cdot e_l
\end{vmatrix}
$$

外积的模长

用拉格朗日的公式，我们即可获得
$$
\left | u \wedge v \right | ^2 = \begin{vmatrix}
u\cdot u & v\cdot u\
u\cdot v & v\cdot v
\end{vmatrix} = |u|\cdot|v|(1-\cos ^2(\theta))
$$

对于单个点附近的函数变化的研究，往往会求助于线性代数。
但当这些局部性质沿着曲线动起来的时候，就会出现微积分了。

微分下的结构变换

$$
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left ( u(t) \wedge v(t) \right ) = \left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} u(t) \right ) \wedge v(t) + u(t) \wedge \left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} v(t) \right )
$$