微分几何2:复习线性空间

向量空间的定向 Orientation

Def:
e = \left { e_i \right } _{i = 1} ^ne = \left { e_i \right } _{i = 1} ^n, f = \left { f_i \right } _{i = 1} ^nf = \left { f_i \right } _{i = 1} ^n is order base.
We say e and f have the same orientation if the matrix of change of basis has position determinant. Denoted as ef.

ef 事实上是一个等价关系,因为它满足等价关系的三个条件。

Remark:
等价关系的三个条件:

  1. ee
  2. effe
  3. ef,fgeg

由此,它把向量空间分成了两个等价类。

外积

Def: Vector product (Cross product) in R3
For v,uR3, the vector product of u and v is the unique vector uvR3

用行列式表达的话,
uv=|u1u2u3 v1v2v3 ^e1^e2^e3|


由此,由行列式的性质,我们可以得到以下运算规律

  1. uv=vu
  2. uv=0u,v线性相关
  3. (uv)u=0,(uv)v=0
  4. (uv)w=(uw)v(vw)u

几何意义

(uv)事实上是uv生成平面的一个法向量。

Lagrange’s identity

(uv)(xy)=|uxvx uyvy|

proof

因为外积与内积都是线性运算,因此我们只需要对一组积进行验证即可
(eiej)(ekel)=|eiekejek eielejel|

外积的模长

用拉格朗日的公式,我们即可获得
|uv|2=|uuvu uvvv|=|u||v|(1cos2(θ))


对于单个点附近的函数变化的研究,往往会求助于线性代数。
但当这些局部性质沿着曲线动起来的时候,就会出现微积分了。


微分下的结构变换

ddt(u(t)v(t))=(ddtu(t))v(t)+u(t)(ddtv(t))

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