向量空间的定向 Orientation
Def:
e = \left { e_i \right } _{i = 1} ^ne = \left { e_i \right } _{i = 1} ^n, f = \left { f_i \right } _{i = 1} ^nf = \left { f_i \right } _{i = 1} ^n is order base.
We say e and f have the same orientation if the matrix of change of basis has position determinant. Denoted as e∼f.
e∼f 事实上是一个等价关系,因为它满足等价关系的三个条件。
Remark:
等价关系的三个条件:
- e∼e
- e∼f⇒f∼e
- e∼f,f∼g⇒e∼g
由此,它把向量空间分成了两个等价类。
外积
Def: Vector product (Cross product) in R3
For v,u∈R3, the vector product of u and v is the unique vector u∧v∈R3
用行列式表达的话,
u∧v=|u1u2u3 v1v2v3 ^e1^e2^e3|
由此,由行列式的性质,我们可以得到以下运算规律
- u∧v=−v∧u
- u∧v=0⇔u,v线性相关
- (u∧v)⋅u=0,(u∧v)⋅v=0
- (u∧v)∧w=(u⋅w)v−(v⋅w)u
几何意义
(u∧v)事实上是u和v生成平面的一个法向量。
Lagrange’s identity
(u∧v)⋅(x∧y)=|u⋅xv⋅x u⋅yv⋅y|
proof
因为外积与内积都是线性运算,因此我们只需要对一组积进行验证即可
(ei∧ej)⋅(ek∧el)=|ei⋅ekej⋅ek ei⋅elej⋅el|
外积的模长
用拉格朗日的公式,我们即可获得
|u∧v|2=|u⋅uv⋅u u⋅vv⋅v|=|u|⋅|v|(1−cos2(θ))
对于单个点附近的函数变化的研究,往往会求助于线性代数。
但当这些局部性质沿着曲线动起来的时候,就会出现微积分了。
微分下的结构变换
ddt(u(t)∧v(t))=(ddtu(t))∧v(t)+u(t)∧(ddtv(t))