微分几何1：初见

曲线 Curve

事实上，对于三维空间里的任意曲线，很有可能会变得任意复杂，或者有无限多个拐角。这会让事情变得很复杂。也许可以研究，但是，我们现在还是从比较简单的情况开始入手。

参数化曲线 Parametrized differential Curves

Def A parametrized differntiable curve is a differential map $\alpha:I \to \mathbb{R}^3$ of an open interval $I = (a,b)$ of the real line $R$ into $R$.

简单来说就是，整个曲线可以用一个从R上的开区间$(a,b)$到$\mathbb{R}^3$的可微函数$\alpha$来表示。这里的开区间并没有排除掉整个实数轴的情况。

参数化之后的一个显而易见的好处就是可以应用我们的分析工具了。

切向量 Tangent Vector

$$
t(s) = |\alpha ‘ (s)|
$$

因为这个定义，有时候也会称切向量是速度向量 velocity vector.

Examples

$$
f:\mathbb R \to \mathbb R^2;t \mapsto(t^2,t^3)
$$

正则曲线 regular curve

Def：

A parametrized differentiable curve $\alpha:I \to \mathbb{R}^3$ is said to be regular if $\alpha’(t) \not = 0$ for all $t \in I$.

可能从这个定义方式看不出来，这个正则曲线的性质相对于一般曲线而言已经有了一个极大 的提升。这个速度向量永远不为零的性质保证了参数化的时候，速度永远不是零，这保证了反函数的存在，那么我们就可以任意修改参数化的形式。比如用下面这一种更加自然的参数数化方法。

用长度参数化的曲线 Curve parametrized by arc length

在这种情况下，我们就可以定义从某一点开始算的长度 length

$$
s(t) = \int_{t_0}^{t} |\alpha ‘ (t)| dt
$$
而切向量的长度则可表达为
$$
|\alpha’ (t)| = \sqrt{(x’(t))^2 + (y’(t))^2 + (z’(t))^2}
$$

那么当$|\alpha’(t)| \equiv 1$时，那么
$$
s = \int_{t_0}^{t} 1 dt = t - t_0
$$

曲率 currature

$$
k(s) = |t’(s)|=|\alpha’’(s)|
$$

事实上这个曲率$k$反应了曲线在该处的弯曲程度，因此有以下对应
$$
k(s)\equiv 0 \Leftrightarrow \alpha(s) = u \cdot s + v \text{ for some vector }u,v \in \mathbb{R}^3
$$

法向量 Normal Vector

$$
\alpha’’(s) = k(s)n(s), \text{when }|k(s)| \not = 0
$$

密切平面 Osculating plane

我们可以利用切向量$t(s)$和法向量$n(s)$来刻画密切平面,

然而，事实上，我们更加希望能够给这一点定义一个自然的局部坐标系（Remark 数分提到过局部坐标系和世界坐标系之间的关系）

次法向量R

由此提供一个密切平面的法向量$b(s)$,称之为副法线（binormal）.
$$
b(s) = t(s)\wedge n(s)
$$

$|b’(s)|$ 实际上刻画了密切平面在$s$邻域内的变动
$$
b’(s) = t’(s) \wedge n(s) + t(s) \wedge n’(s) = t(s) \wedge n’(s)
$$
因此，可以注意到，$b(s)$与$n(s)$线性相关

所以，我们可以定义这一点的挠率（torsion）$\tau (s) = |b’(s)|$
$$
b’(s) = \tau (s) n(s)
$$
不过我们也可以认为它的定义是这个
$$
\tau (s) = b’(s) \cdot n(s)
$$
这个值的大小刻画了密切平面的变动速率, 或者说是刻画了曲线在这一点逃离这个平面的速度。因此有
$$
\tau(s) \equiv 0 \Leftrightarrow \alpha(I) \text{ contained in a plane}
$$
到这里，我们还可以验证，当曲线定向反转的时候，$b’(s)$是不会出现变化的。也就是说曲线的定向不会改变挠率和曲率。

局部坐标

由此我们拥有了三个与曲线该点性质密切相关且两两之间互相垂直的向量$b(s), t(s), n(s)$
$$
\left{\begin{matrix}
n = b \wedge t\
t = n \wedge b\
b = t \wedge n
\end{matrix}\right.
$$
因此
$$
\begin{cases}
n’ = -kt-\tau b\
t’ = \tau n\
b’ = k n
\end{cases}
$$