高代上的一些不等式

假设

如无特殊说明，一下符号即代表如下含义

矩阵

$$
A \in \mathrm {M} _{m \times n} (K),B \in \mathrm {M} {n \times l} (K),C \in \mathrm{M}{l \times t},P \in \mathrm {M} _{s \times m} (K)
$$

子空间

如无特殊说明，$U,W$均为$V$的子空间
$T$为从$U$到$W$的线性映射

秩

1. $\mathrm {rank} (PA) \le \mathrm{rank} (A)$，P可逆为取等的一个充分条件
2. $\mathrm {rank} (AB) \le \mathrm {min} \left { \mathrm {rank} (A),\mathrm {rank} (B) \right }$
3. $\mathrm {rank} (A) = \mathrm {rank} (A^T)$

子空间

1. 当U,W均为有限维时，$\dim (U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W)$

秩-零化度定理

定理

$$
\dim \mathrm{Ker}(T) + \dim \mathrm{Im} (T) = \dim V
$$

推论

1. $\mathrm{rank}(A+B) \le \mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B)$
2. $\mathrm{rank}(AB) \ge \mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B) -n$
3. $\mathrm{rank}(AB) + \mathrm{rank}(BC) \le \mathrm{rank}(ABC) + \mathrm{rank}(B)$

行列式与特征值

行列式计算法则

$|AB|=|A| \cdot |B|, |c \cdot A| = c|A|$

Laplace 展开式

行展开
$$
|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \left|A\begin{pmatrix}
i \
j
\end{pmatrix}\right|
$$
列展开
$$
|A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \left|A\begin{pmatrix}
i \
j
\end{pmatrix}\right|
$$

迹

代数含义

1. 矩阵对角线元素之和
2. 矩阵所有 特征值之和（重数计入）

   计算

   $\mathrm{Tr}(A+B) = \mathrm{Tr}(A)+\mathrm{Tr}(B)$
   $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$
   $\mathrm{Tr}(cA)=c \cdot \mathrm{Tr}(A)$

Cayley-Hamilton定理

若$f$是$A$的特征多项式，则$f(A)=0$