分离公理

分离公理整理笔记

稍微整理了一下最近看到的部分，以后可能还会时不时更新

分离公理及记号

我们不妨假设在以下空间中，单点集合都是闭集。

T1：

任意拓扑空间中两个不同点，总存在两个点各自的邻域，使得一个点的邻域不包含另一个点。

T2(Hausdorff空间)：

对于$X$中任意两个互不相同的点$x$和$y$，存在两个无交的开集分别包含x和$y$。

T3(正则空间)：

对于任意一个点$x$和不包含$x$的一个闭集$B$，存在无交的两个开集分别包含x和$B$。

T$3\frac{1}{2}$(完全正则空间)：

对于X中每一个点$x_0$和不包含$x_0$的任何一个闭集$A$存在一个连续函数$f: X \rightarrow [0,1], s.t. f(x_0)=1, f(A) = {0}$。

T4(正规空间)：

对于任意两个无交闭集，存在无交的两个开集分别包含两个闭集。

T5(完全正规空间)：

$X$的每一个子空间都是正规空间。

T6(完美正规空间)：

$X$中的每一个闭子集都是$X$的一个$G_{\delta}$集

一些常见的等价条件

T4

对于任意两个无交闭集$A$和$B$，存在一个连续函数$f: X \rightarrow [0,1], s.t. f(A)={1}, f(A) = {0}$。

T5

对于X中每一对分离集，存在无交的开集分别包含它们。

一点补充解释

$G_{\delta}$集

一个集合$A$是$X$中的$G_{\delta}$集，当且仅当$A$可表示为$X$中可数个开集的交。

显然，开集一定是$G_{\delta}$集。

连续函数

一个函数$f: X \rightarrow Y$被称为连续函数，当且仅当
$$
\forall U \in Y, (U \text{是开集} \Rightarrow f^{-1}(U) \text{是开集})
$$

分离集

我们称X中的一对点集A和B为分离集，当且仅当
$$
\overline{A} \cap B = \overline{B} \cap A = \emptyset
$$