数分知识梳理

极限

数列的极限

$\varepsilon - N$定义

$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in N_+,s.t.$当$n>N$时,有

$$
\left | a_n - a \right | < \varepsilon
$$

我们称$a$为数列${ a_n }$的极限，记为
$$\lim_{n \to \infty} a_n = a $$

收敛数列的性质

1. 极限的唯一性
2. 极限数列必有界
3. 极限运算为线性运算
4. 极限的保序性（$a_n < b_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n \le \lim_{n \to \infty} b_n$）

数列收敛的判别

Cauchy 收敛原理

该原理与极限的定义等价
$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in N_+,s.t.$当$m,n>N$时，有
$$
\left | a_m - a_n \right | < \varepsilon
$$

单调有界原理

若数列${ a_n }$单调且有界，则${ a_n }$收敛.

上极限与下极限

上极限:$\lim_{N \to \infty} \sup_{n>N} t$

下极限:$\lim_{N \to \infty} \inf_{n>N} t$

夹逼定理

若对于三个数列总有$a_n \le b_n \le c_n$且满足
$$
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A
$$

那么
$$
\lim_{n \to \infty} b_n =A
$$

基础 实数系的“连续性”

可用工具：

1. 确界存在定理
2. 闭区间套定理（二分法）
3. 有限覆盖定理（联系局部性质与整体性质）
4. 列紧性原理（有界数列的收敛子列）

函数的极限

给定点处的极限

记该点为$x_0$
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0,s.t.$当$0 < |x-x_0| < \delta$时，有

$$
\left | f(x) - C \right | < \varepsilon
$$

我们称$C$为函数该点的极限，记为

$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = C
$$

无穷远处的极限

以$+\infty$为例子
$\forall \varepsilon > 0, \exists A > 0,s.t.$当$ x > A$时，有
$$
\left | f(x) - C \right | < \varepsilon
$$

我们称$C$为函数趋于无穷时的极限，记为
$$
\lim_{x \to + \infty} f(x) = C
$$

函数极限运算及有极限函数的性质

1. 有极限函数的极限唯一
2. 有极限函数的局部有界性
3. 极限运算为线性运算
4. 极限运算的保序性

函数极限的判定

Cauchy 收敛原理

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0,s.t.$当$0 < |x_1-x_0| < \delta,0 < |x_2-x_0| < \delta$时，有
$$
\left | f(x_1) - f(x_2) \right | < \varepsilon
$$

则$f$在$x_0$处收敛.

单调有界原理

上极限与下极限

Heine 定理

$$
\forall x_n\to x_0 (x \rightarrow \infty), \lim_{n \to \infty} x_n = A \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = A
$$

无穷小与无穷大

设$f$与$g$在$x_0$的近旁有定义，并且$g(x) \not = 0$.

$x \to x_0$时，若$f(x)/g(x)$保持有界，记为

$$
f(x) = O(g(x))(x \to x_0)
$$

$x \to x_0$时，若$f(x)/g(x)$是一个无穷小，记为

$$
f(x) = o(g(x))(x \to x_0)
$$

积分和的极限

定义6.1.1 Riemann可积

设函数在区间$[a,b]$上有定义.如果实数$I$使得对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，只要$[a,b]$的分割$\pi$满足$\left | \pi \right | < \delta$，而不管$\xi_i \in [x_{i-1},x_i] (1 \le i \le n)$如何选择，都有

$$
\left | I - \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \right | < \varepsilon
$$

成立，则称$f$在$[a,b]$上Riemann可积，称$I$是$[a,b]$上的Riemann积分. 记为

$$
\int_{a}^{b} f(x) , \mathrm{d}x
$$

---

函数的连续性（局部性质）

定义 $\varepsilon - \delta$表述

$$
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0,s.t.当0 < |x-x_0| < \delta时，有
$$
$$
\left | f(x) - f(x_0) \right | < \varepsilon
$$

记为
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$

单侧定义

左极限

$$
\lim_{x \to x_0^-} f(x)
$$

记为$f(x_0 -)$

右极限

$$
\lim_{x \to x_0^+} f(x)
$$

记为$f(x_0 +)$

函数在区间上连续（逐点定义）

记区间为$I$
$$
\forall x_0 \in I, \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$

我们称$f$在$I$上连续.

记在$[a,b]$上连续的函数，作
$$
f \in C [a,b]
$$

间断点

第一类间断点

跳跃点

函数在该点$x_0$左右极限不相等
$$
f(x_0 -) \not = f(x_0 +)
$$

可去间断点

函数在该点$x_0$左右极限相等，但不等于函数在该点的值
$$
f(x_0 -) = f(x_0 +) \not = f(x_0)
$$

第二类间断点

$f(x_0 +)$和$f(x_0 -)$至少有一个不存在或不是有限数

函数的一致连续性（整体性质）

注意该定义与Cauchy收敛原理之间的区别
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta >0,s.t.当0<\left | x_1 - x_2 \right | < \delta 时，
$$
$$
\left | f(x_1) - f(x_2) \right | < \varepsilon
$$

连续函数的整体性质

有限闭区间上的连续函数

1. 有界性
2. 最大值，最小值 可取到
3. 介质定理
4. 一致连续性

可数集

1. 集合
2. 映射
3. 集合的势（基数）
4. 无限集（与真子集等势）

---

导数与微分

从变化率见导数

我们认为瞬时变化率是平均变化率的极限
$$
f’(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta f(t)}{\Delta t}
$$

即得导数的定义
$$
f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$

微分——以直带曲，局部的线性化

设函数$f$在$(a,b)$上有定义，且$x_0 \in (a,b)$. 如果存在一个常数$\lambda$，使得
$$
f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \lambda \Delta x + 0(\Delta x)(\Delta x \to 0)
$$
则称$f$在点$x_0$处可微.

可微与可导的关系

可微比可导更加严格。对一元函数，可导就是可微；对于多元函数，可导不一定可微

高阶导数

微分中值定理

Rolle 中值定理

设函数$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，那么存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f’(x)=0$.

Lagrange 中值定理

设函数$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，那么存在一点$\xi \in (a,b)$，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f’(\xi)
$$

Cauchy 中值定理

设函数$f$和$g$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且当$x \in (a,b)$时，$g’(x) \not = 0$，那么存在一点$\xi \in (a,b)$，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}
$$

Talor 展开（对函数局部性质的研究）

$$
T_n(f, x_0; x) = f(x_0) + \frac{1}{1!} f’(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n
$$

特别的，$n \to \infty$时，我们称其为Talor级数

余项$R_n(x)$

Talor展开与原函数之间的差值，我们称之为余项
$$
R_n(x) = f(x) - T_n(f, x_0; x)
$$

Peano余项

$$
R_n(x) = o((x-x_0)^n) (x \to x_0)
$$

Lagrange 余项

$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
$$

Cauchy 余项

$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x - \xi)^n (x-x_0)
$$

积分余项

$$
R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^{x} (x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t
$$

计算部分

极限的计算

1. 单调数列（解方程）
2. 不等式（夹逼定理）
3. 几个特殊的极限复合
4. 幂指函数的极限
5. 连续性
6. Stolz 定理
7. L‘Hospital 法则
8. Talor公式
9. 阶的比较
10. 积分和

导数的计算

1. 基本初等函数的导数
2. 四则运算
3. 反函数的导数
4. 链式法则
5. 一阶微分的形式不变性
6. 高阶导数
7. Leibniz公式（没有Newton）（乘积求导法则）
8. 特殊函数的Taylor公式

$$
e = 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+o(1)(n \to + \infty)
$$

$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\ln n + \gamma + o(1)
$$

原函数的计算

1. 基本积分法
2. 分部积分法
3. 换元积分法
4. 有理函数的积分
5. 可有理化的函数的积分

函数不等式的证明

1. 函数的性质分析
2. 单调
3. 凸性
4. 极值
5. 最值
6. 渐近线
7. 拐点