拓扑学笔记(1) 拓扑空间

拓扑空间

定义 拓扑

集合$X$上的一个拓扑(topology)是$X$的子集的一个族$\mathcal{T}$，它满足以下条件:

1. $\emptyset \in \mathcal{T},X \in \mathcal{T} $
2. $\mathcal{T}$的任意子族的元素的并在$\mathcal{T}$中.
3. $\mathcal{T}$的任意有限子族的元素的交在$\mathcal{T}$中.

一个指定了拓扑$\mathcal{T}$的集合$X$叫做一个拓扑空间(topological space).在不会混淆的场合下，可以不去提$\mathcal{T}$.

特殊的拓扑

对于任意集合$X$，

$X$的所有子集为$X$的一个拓扑，称为离散拓扑(discrete topology).

仅含有$X$与$emptyset$的也是$X$的一个拓扑，称为密着拓扑(indiscrete topology)或者平庸拓扑(trivial topology).

$\mathcal{T}$是使得$\forall U \in \mathcal{T}, X - U \in \mathcal{T}$的一个拓扑，我们称$\mathcal{T}$为有限补拓扑

定义 细于（小于）

对于$X$的两个拓扑$\mathcal{T}, \mathcal{T}’$，如果$\mathcal{T} \supset \mathcal{T}’$，我们称$\mathcal{T}’ 细于 \mathcal{T}$，如果$\mathcal{T} \supsetneq \mathcal{T}’$，我们称$\mathcal{T}’ 严格细于 \mathcal{T}$

拓扑的基

总是用$\mathcal{T}$来刻画拓扑总是很不方便，我们希望能有一个更小的子集可以描述一个拓扑

定义 拓扑的基

如果$X$是一个集合，$X$的某拓扑的一个基(base)是$X$的子集的一个族$\mathscr{B}$(其成员称为基元素(base element))，满足条件：

1. 对于每一个$x \in X$，至少存在一个包含$x$的基元素$B$.
2. 若$x$属于两个基元素$B_1$和$B_2$的交，则存在包含$x$的一个基元素$B_3$，使得$B_3 \subset B_1 \cap B_2$.

例子 开集族

引理 13.1 拓扑基到拓扑

设$X$是一个集合，$\mathscr{B}$是$\mathcal{T}$的一个基. 则$\mathcal{T}$是$\mathscr{B}$中元素所有并的族
$$
\mathcal{T} = \left \{ \bigcup_{B \in \mathscr{B’}} B | \mathscr{B’} \subset \mathscr{B} \right \}
$$

引理 13.2 拓扑到拓扑基

设$X$是一个拓扑空间. $\mathcal{C}$是$X$的开集的一个族，它满足对于$X$的每一个开集$U$及每一个$x \in U$，存在$\mathcal{C}$的一个元素$C$，使得$x \in C \subset U$. 那么$\mathcal{C}$是$X$上这个拓扑的一个基.