积分学笔记1——初识积分学

积分的概念

定义6.1.1 Riemann可积

设函数在区间$[a,b]$上有定义.如果实数$I$使得对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，只要$[a,b]$的分割$\pi$满足$\left | \pi \right | < \delta$，而不管$\xi_i \in [x_{i-1},x_i] (1 \le i \le n)$如何选择，都有

$$
\left | I - \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \right | < \varepsilon
$$

成立，则称$f$在$[a,b]$上Riemann可积，称$I$是$[a,b]$上的Riemann积分.记为

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x
$$

对于常见的连续函数，或许可以直接将积分理解为对 函数与坐标轴围成面积 无线近似的过程。

积分的性质

1.线性运算

$$
\int_a^b [f(x)+g(x)] \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \mathrm{d}x
$$

$$
\int_a^b c f(x) \mathrm{d}x = c \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
$$

2.保序性

若是函数$f$和$g$满足$\forall x \in [a,b], f(x) \ge g(x)$，那么
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \ge \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x
$$

3.关于区间的可加性

设$c \in (a,b)$，$f$在$[a,c],[c,b]$上可积，那么$f$在$[a,b]$上也可积，并且
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x
$$

4.上下限互换，积分为相反数

$$
\int_b^a f(x) \mathrm{d}x = - \int_a^b f(x) \mathrm{d}x
$$

5.积分平均值定理

设$f,g \in C[a,b]$且$g(x)$在$[a,b]$上不改变符号，则
$$
\exists \xi \in [a,b], s.t.\
\int_{a}^{b} f(x)g(x) \mathrm{d}x = f(\xi)\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x
$$

可积函数

可积函数的性质

1.可积函数一定有界

2.可积函数一定绝对可积

若$f(x)$可积，则$\left| f(x) \right|$可积

3.子区间可积

若$f$在区间$I$上可积，则$\forall I_i \subseteq I$有$I_i$可积.

可积函数的判别

有限闭区间上的连续函数必可积(重要)

证明待补充

微积分学基本定理 Newton-Leibniz公式

设$f \in C[a,b]$，$G$是$f$在$[a,b]$上的任一原函数，那么
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = G(b)-G(a)
$$

分部积分与换元

分部积分

对微分式
$$
u \mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv)-v \mathrm{d}u
$$
等号两边同时积分，得到
$$
\int_a^b u(x)v’(x) \mathrm{d}x = u(x)v(x) |_a^b - \int_a^b u’(x)v(x) \mathrm{d}x
$$

换元

设$f$在$I$上连续，$a,b \in I$，函数$\varphi$在区间上有连续的导函数，$\varphi ([\alpha ,\beta ]) \subset I$，且$\varphi (\alpha ) = a , \varphi (\alpha ) = b$,那么
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f\circ \varphi (x) \varphi’ (x) \mathrm{d}x
$$

Talor余项积分形态

若是$f$在$(a,b)$有$n+1$阶连续导函数，则我们可以将$f$写作
$$
f(x) = f(x_0) + \frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
$$
其中
$$
R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^{x} (x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t
$$

一些好用的不等式

三角不等式的积分形态

$$
\left | \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \right | \le \int_{a}^{b} \left | f(x) \right | \mathrm{d}x
$$

Cauchy-Schwarz 不等式

$$
\left ( \int_{a}^{b} f(x)g(x) \mathrm{d}x \right )^2 \le \left ( \int_{a}^{b} f(x)^2 \mathrm{d}x \right )\left ( \int_{a}^{b} g(x)^2 \mathrm{d}x \right )
$$